Элементарное доказательство иррациональности числа e

Конечно же, “элементарность’’ данного доказательства относительна. Однако оно должно быть понятно студенту первого курса вуза, изучающему высшую математику.

Будем доказывать от противного. Предположим, что

,

где и — натуральные числа.

Учитывая данное равенство и рассматривая разложение в ряд:

,

получаем следующее равенство:

Представим данную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых — сумма членов ряда по от до , а второе — сумма всех остальных членов ряда:

Теперь перенесем первую сумму в левую часть равенства:

Умножим обе части полученного равенства на . Получим

Теперь упростим полученное выражение:

Рассмотрим левую часть полученного равенства. Очевидно, что число целое. Целым является также и число , поскольку (отсюда следует, что все числа вида целые). Тем самым левая часть полученного равенства — целое число.

Перейдем теперь к правой части. Эта сумма имеет вид

По признаку Лейбница этот ряд сходится, и его сумма есть вещественной число, заключенное между первым слагаемым и суммой первых двух слагаемых (со знаками), т.е.

.

Оба эти числа при лежат между и . Следовательно, , т.е. — правая часть равенства — не может быть целым числом. Получили противоречие: целое число не может быть равно числу, которое не является целым.

Это противоречие доказывает, что число не является рациональным.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://hijos.ru/

Дата добавления: 11.04.2013