Теория случайных функций
Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Èíñòèòóò Ýëåêòðîíèêè è Ìàòåìàòèêè
(Òåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò)
ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ
ïî êóðñó
“Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé“
Ñòóäåíò: Ôåðåíåö Ä.À.
Ïðåïîäàâàòåëü: Ìåäâåäåâ À.È.
Âàðèàíò: 2.4.5.á
Ìîñêâà, 1995
Äàíî:
Âîññòàíàâëèâàåìàÿ, ðåçåðâèðîâàííàÿ ñèñòåìà (5,1) ñ ÊÏÓ, âåðîÿòíîñòü ñðàáàòûâàíèÿ ÊÏÓ ðàâíà b.
Âðåìÿ íåâûõîäà èç ñòðîÿ (ò.å. áåçîòêàçíîé ðàáîòû) îñíîâíîãî ýëåìåíòà ðàñïðåäåëåíî ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì a.
Âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ âûøåäøåãî èç ñòðîÿ ýëåìåíòà ðàñïðåäåëåíî ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì m.
Òèï ðåçåðâèðîàâíèÿ - íåíàãðóæåííûé.
Äëÿ îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ââåäåì äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé ïîöåññ n(t) = (x(t), d(t)) ñ êîîðäèíàòàìè, îïèñûâàþùèìè:
- ôóíêöèîíèðîâàíèå ýëåìåíòîâ
x(t) О {0, 1, 2} - ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ;
- ôóíêöèîíèðîâàíèå ÊÏÓ
d(t) О {0,1} - 1, åñëè èñïðàâåí, 0 - åñëè íåò.
Òàê êàê âðåìåíà áåçîòêàçíîé ðàáîòû è âîññòàíîâëåíèÿ èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî â ñèëó ñâîéñòâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî x(t) - îäíîðîäíûé Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ.
Îïðåäåëèì ñîñòîÿíèå îòêàçà ñèñòåìû:
Ñèñòåìà îòêàçûâàåò ëèáî åñëè ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå 2 ïðîöåññà x(t) (ò.å. îòêàç êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà ïðè êîëè÷åñòâå ðåçåðâíûõ ýëåìåíòîâ, ðàâíûì íóëþ), ëèáî åñëè íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè 0 ïðîöåññà d(t) (ò.å. îòêàç êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà è îòêàç ÊÏÓ).
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàô ñîñòîÿíèé ñèñòåìû:
0 - ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì 0 íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ,
ò.å. ñîñòîÿíèå n(t) = (0, d(t))
1 - ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì 1 íåèñïðàâíûé ýëåìåíò,
ò.å. ñîñòîÿíèå n(t) = (1, 1)
Ï - ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì ëèáî 2 íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòà, ëèáî 1 íåèñïðàâíûé ýëåìåíò è íåèñïðàâíûé ÊÏÓ,
ò.å. êîìïîçèöèÿ ñîñòîÿíèé n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) - ïîãëîùàþùåå ñîñòîÿíèå.
Íàéäåì èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ.
Òàê êàê âûõîä èç ñòðîÿ êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ - ñîáûòèÿ íåçàâèñèìûå, òî ïîëó÷èì:
âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ ýëåìåíòà: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)
âåðîÿòíîñòü âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòà: 1-exp(-mh) = mh + o(h)
Ю 
Ïóñòü 
Ю Ïîëó÷èì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà:
Ïóñòü 
,
ò.å. ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ê 
.
Ò.ê. 
, òî, ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòåé, ïîëó÷àåì:
Ю 
Ю 
(
- êîðíè 
=0)
Ïðåäñòàâëÿÿ êàæäóþ èç ïîëó÷åííûõ ôóíêöèé â âèäå ñóììû äâóõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, ïîëó÷àåì:
Ïðèìåíÿÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé 
:
Ю 
Ю 
Ю Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü íåâûõîäà ñèñòåìû èç ñòðîÿ çà âðåìÿ t:
,
ãäå
,
Èòàê,
,
ãäå
Îïðåäåëèì òåïåðü ñðåäíåå âðåìÿ æèçíè òàêîé ñèñòåìû, ò.å. MT
(T - âðåìÿ æèçíè ñèñòåìû):
Ю 
Дата добавления: 23.10.2000
