Интеграл Пуассона
Интеграл Пуассона
Пусть ¦ ( x) , g(x) , xÎ R1 –суммируемые на [ -p , p ] , 2p - периодические, комплекснозначные функции. Через f* g(x) будем обозначать свертку
f* g(x) =
dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [ -p ,p ] и
cn ( f* g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ... ( 1 )
где { cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn = 
-i n tdt , n = 0, ±
1
,
±
2
,
¼
Пусть ¦ Î L1 (-p , p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦
r ( x ) = 
n ( f ) r|
n |
ei n x , x Î
[
-
p
,
p
]
, ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦ r ( х) равны
cn ( fr ) = cn × r| n | , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦ r ( x ) можно представить в виде свертки :
¦
r ( x ) = 
, ( 3 )
где
, t Î
[
-
p
,
p
]
.
( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 £ r < 1 , t Î [ - p , p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) = 
, 0
£
r <
1
, t Î
[
-
p
,
p
]
. ( 5 )
Если ¦ Î L1 ( -p , p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = ` cn( f ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ¼ , из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) = 
=
, ( 6 )
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2 
( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ Î L1( -p , p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦ r (eix ) , z = reix , 0 £ r < 1 , x Î [ -p , p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = 
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1 + e ( e > 0 ) функция и ¦ (x) = u (eix) , xÎ [ - p , p ] . Тогда
u (z) = 
( z = reix , |
z |
<
1
) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=
, |
z |
<
1
+ e
.
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦ r (x) при r® 1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) 
;
б) 
;
в) для любого d >0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ ( х) º 1 .
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции 
(
-p , p ) , 1
£ p < ¥ ,
имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p , p ] и ¦ (-p ) = ¦ (p ) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции 
, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного e
>
0
найдем d
= d
(e
) такое, что 
. Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция 
суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции 
называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор 
называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть 
- комплекснозначная функция из 
. Тогда
для п.в. 
.
Доказательство.
Покажем, что для 
и 
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть 
- такое число, что
.
Тогда для 
.
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора 
, найдем такую последовательность функций 
,что
,
( 14 )
для п.в. 
.
Согласно (13) при xÎ (-2p , 2 p )
Учитывая , что по теореме 1 
для каждого xÎ
[-p
,
p
] и (14)
Из последней оценки получим
при n®
¥
.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ
[-p
,
p
] 
, когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности 
пути.
Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [ - 2p , 2p ] (т.е. f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p ,2p ] и x-y=2p ) и f (x) = 0 , если | x| > 2 p .
Дата добавления: 14.05.2001
